一．概念描述

現代數學：如果整數a能被自然數b整除，那么a叫作b的倍數，b叫作a的約數（也叫因數）；如果整數a不能被自然數b整除，就表示a不是b的倍數，或者b不是a的約數。

小學數學：小學數學教材中一般是這樣闡述因數和倍數的概念的。2004年北京版教材第10冊的第46頁指出：如果數a能被數b整除，a就叫作b的倍數，b就叫作a的約數（也就是因數）。例如，15能被3整除，15是3的倍數，3是15的因數。2013年人教版教材五年級下冊第12頁指出：2x6=12，2和6是12因數，12是2和6的倍數。

二．概念解讀

(1)因數和倍數的表達

因數和倍數表示的是一個數與另一個數的關系，它們是兩個相互依存的概念，不能單獨存在。因此，在敘述時，一定要說明哪個數是哪個數的因數或倍數，而不能說成某數是因數或倍數。例如對15÷3=5，應說15是3的倍數，3是15的因數；而不能說15是倍數，3是因數。

(2)求一個數的因數的方法

例如，18的因數有哪些？用乘法想：哪兩個整數相乘的積是18？18=1×18，18=2×9......用除法想：18÷1=18，18÷2=9......

一個數的因數可以從1找起，也就是從最小的因數找起，一直找到它本身（如18的因數有1、2、3、6、9、18），也可以一對一對地找（如18的因數有1和18，2和9，3 和6）。

(3)求一個數的倍數的方法

例如，你能找出多少個2的倍數？從2的1倍找起，接著2的2倍、3倍……也可以這樣想：2x1=2，2x2=4，2×3=6…...

學生會發(fā)現，一直這樣找下去是找不完的，說明2的倍數有無數個。

(4) 一個數的因數和倍數的特點

一個數的最小的因數是1，最大的因數是它本身，它的因數的個數是有限的。

一個數的最小的倍數是它本身，沒有最大的倍數，它的倍數的個數是無限的。

(5)有趣的數

①完全數，又叫完美數。

—個自然數的所有真因數之和等于它本身，這樣的自然數叫完全數。

真因數即除了本身以外的所有正因數。例如，6的因數有：1、2、3、6。除去它本身6之外，剩下的1、2、3這三個因數都是6的真因數。把這三個真因數加起來---1+2+3=6，它們的和正好等于它本身，所以6就是一個完全數。

再如28，把它所有的真因數加起來---1+2+4+7+14= 28，它們的和也正好等于它本身，所以28也是一個完全數。

前十個完全數是：

6（1位）

28（2位）

496（3位）

8128 (4位)

33550336（8位）

8589869056 (10位)

137438691328（12位）

2305843008139952128(19位)

2658455991569831744654692615953842176( 37位)

191561942608236107294793378084303638130997321548169216 (54位)

最早研究完全數的是古希臘數學家畢達哥拉斯。完全數自從誕生后，就一直吸引著眾多數學家與業(yè)余愛好者像淘金一樣去尋找。目前已發(fā)現47個完全數，都是偶數，尾數是6或8，于是人們又在猜測會不會有奇完全數存在呢？

完全數還有許多有趣的性質：

a.每個完全數都能寫成連續(xù)自然數之和(三角形數)。

例如：6=1+2+3

28= 1+2+3+4+5+6+7

496= 1+2+3+...+30+31

b.每個完全數它們的全部因數的倒數之和都等于2，因此每個完全數又都可以叫做調和數。

例如：1/1+1/2+1/3+1/6 =2

1/1+1/2+1/4+1/7+1/14+1/28 = 2

c.除6以外的每個完全數各位數字相加直到變成一位數，這個一位數一定是1。這也可以看作：除6以外的完全數，被9除都余1。

例如：28---2+8=10, 1+0=1

496----4+9+6=19, 1+9=10, 1+0=1

②虧數和盈數。

對于“4”這個數，它的真因數有1、2，它們的和是3，比4本身小，像這樣的自然數叫作虧數。

對于“12”這個數，它的真因數有l(wèi)、2、3、4、6．它們的和是16，比12本身大，像這樣的自然數叫作盈數。

所以，完全數就是既不盈余、也不虧欠的自然數。

③相親數，又稱親和數、友愛數。

兩個正整數中，彼此的全部真因數之和與另一方相等。

例如220與284，220的全部真因數相加的和是：1+2+4+5+10+1 1+20+22+44+55+110= 284。284的全部真因數相加的和是：1+2+4+71+142= 220。

所以，220與284是一對親和數。它是由古希臘數學家畢達哥拉斯發(fā)現的，是人類認識的第一對親和數，也是最小的一對。現在，人們找到的親和數已經超過了1200多對。

人們發(fā)現的前十對親和數為：220與284, 1184與1210，2620與2924, 5020與5564, 6232與6368, 10744與10856, 12285與14595,17296與18416, 63020與76084, 66928與66992。

人們還研究了友好數鏈：這是一連串自然數，其中每—個數的真因數之和都等于下一個數，最后一個數的真因數之和等于第一個數。如12496, 14288, 15472, 14536, 14264。

其中，最長的鏈競包含了28個數：14316, 19116, 31704, 47616,83328, 177792, 295488, 629072, 589786, 294896, 358336, 418904,366556. 274924, 275444, 243760, 376736, 318028, 285778, 152990,122410, 97946, 48976, 45946, 22976, 22744, 19916, 17716。

三．教學建議

(1)注意弄清乘法算式中的“因數”與本單元中的“因數”的聯(lián)系與區(qū)別

在同一乘法算式中，乘號兩邊的數叫作因數，這是相對于“積”而言的。此時的因數和積可以是整數，也可以是小數、分數。本單元中的因數，是相對于“倍數”而言的，因數和倍數具有整除的關系，所以因數和倍數都只能是整數。

(2)注意弄清“倍數”與“倍”的聯(lián)系與區(qū)別

“倍”的概念的外延比“倍數”要廣，比如對12÷3=4，1.2÷0.3=4．我們在用“倍”表述時可以說：12是3的4倍，1.2是0.3的4倍。而用“倍數”表述時只能說：12是3的倍數，而不能說1.2是0.3的倍數，因為只有在整除的情況下才有因數與倍數的關系。

(3)引導學生自主探究找一個數的因數和倍數的方法

一個數的因數有哪些？倍數有哪些？教師可以放手讓學生先嘗試去找。學生初次去找有可能找不全，當出現問題后學生反而會去思考：用什么方法去找？從幾找起？這樣可以使學生在活動體驗中逐步感悟出找一個數的因數和倍數的方法，并逐步感悟出一個數的因數和倍數各有什么特點。

(4)注意滲透集合思想

教師可以借助集合圈表示出一個數的因數或倍數，使學生更好地感受到一個數的因數的個數是有限的，一個數的倍數的個數是無限的；同時為后面用交集形式表示兩個數的公因數和公倍數打下基礎。

四．推薦閱讀

(1)《小學數學知識樹》 (劉開云、李燕燕，北京大學出版社，2008)

該書第一部分《數與運算》的第二章《數的整除》中介紹了與因數和倍數相關的知識。

(2)《對“因數與倍數”教學內容的再思考》（丁國忠，《小學數學》，2008年第2期）

該文分析了這部分內容中相關概念之間的緊密聯(lián)系以及本部分內容的學習對后續(xù)數學學習的重要意義，對因數和倍數在中小學階段的重要功能進行了深入思考。