其實這個問題已經在之前的筆記中有提起過，這里我們將進一步進行講解。我們首先回憶下之前說的強度和剛度的問題，強度是材料抵抗破壞的能力，即應力問題；而剛度是材料抵抗變形的能力，即應變問題。我們再想想彈簧的胡克定律，力=變形量×彈簧剛度，于是結合之前所說的內容，我們得到下面這張圖：

圖 4.1 基本對應關系

所以彈簧中所講的胡克定律只是最基本的應用，真正的胡克定律是描述應力和應變關系的定律。這時候我們再回想之前所講的正應力和正應變，剪應力和剪應變，和胡克定律的結合我們分別能夠分別得到兩種應力關系和應變關系的等式：

正應力 σ=楊氏模量 E×正應變 ε

剪應力 τ=剪切模量 G×剪應變 γ

上兩個式子就是應力應變關系式，這里我們出現了兩個新的名詞楊氏模量和剪切模量。

我們首先解釋下。

應力和應變的關系我們可以統一寫成應力=彈性模量×應變，這個彈性模量是一類統稱，當應力應變是剪的時候我們就成為剪切模量，當為正應力應變的時候就是楊氏模量，還有其他如體積模量、彎曲模量等等很多。因為楊氏模量是彈性模量中應用最為廣泛的一種，所以在實際使用經常將彈性模量等同于楊氏模量，但是我們一定要清楚這兩者是有范圍上的區別的。模量代表的就是材料的剛度，模量越大的材料抵抗變形的能力就越強，比如橡膠的彈性模量就很小，而合金鋼的彈性模量就很大，所以相同的力，橡膠的變形就會遠遠大于合金鋼。接下來我們就具體說說楊氏模量。

我們知道平時我們對材料做的最多的實驗就是試棒拉伸實驗，幾乎所有工程師在學校里就做過這個實驗，這個實驗做出來的彈性模量就是楊氏模量。這個實驗的實驗方法我們這里就不展開講解了，相關信息可以參考國家標準 GB／T228.1-2010。

圖 4.2 拉伸實驗的示意圖

通過這個實驗，我們可以得到一張非常重要的材料拉伸性能曲線圖：

圖 4.3 材料拉伸曲線

圖 4.3 中橫坐標為應變，縱坐標為應力，A 點到 B 點這個階段我們稱之為彈性區，這個階段滿足我們之前所說的胡克定律，這個 B 點之后到 D 點破壞的階段，我們稱之為塑性區，這個階段胡克定律就失效了。同時注意，AB 段的斜率就是我們所說的楊氏模量。

對于這個問題我們用一個很形象的例子說明：彈簧。我們知道彈簧在一定伸長范圍內，如果我們把力撤除，彈簧就會恢復原始的樣子，但是如果我一旦力過大，彈簧就回不去了。這兩者的區別就在于彈簧的彈性區域和塑性區域。當材料在彈性區域內變形，力撤除后會恢復原始形狀，在塑性區域內變形，力撤除后不會恢復原始形狀。所以很多時候我們在設計產品的時候，是不允許結構的應力到達塑性區，也就是圖中的B點屈服應力，就是這個原因。但是塑性在生產階段的運用還是非常廣泛的，比如鈑金件的折彎，就是必須讓材料達到塑性階段，像車身機箱外殼這些產品就是這方面的應用。

根據需要再回憶下之前說的許用應力的設計問題，其實對于我們工程師來說，圖 4.3 中屈服之后的材料段基本上是不研究的，材料力學也是不研究這個階段，這個階段根據需要會在彈塑性力學當中學習，只是本人認為這個方向我們工程師也沒有去了解必要。